Flächenträgheitsmoment Formelsammlung {2024}

Das Trägheitsmoment ist eine Eigenschaft eines Objekts, die angibt, wie schwer oder leicht es ist, seine Drehbewegung zu ändern.

Wenn ein Objekt eine andere Form hat, hat es auch ein anderes Trägheitsmoment. In diesem Blogpost findest du Formeln für verschiedene Formen, um das Trägheitsmoment zu berechnen.

Lass uns starten, die Trägheitsmomente zu berechnen. 🚀🚀

1. Rechteck/ Vollquerschnitt

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

h = 240 mm, w = 120 mm

Starke Achse:

$I_y = \frac{1}{12} \cdot h^3 \cdot b = \frac{1}{12} \cdot (240mm)^3 \cdot 120mm = 1.3824 \cdot 10^8 mm^4$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{1}{12} \cdot h \cdot b^3 = \frac{1}{12} \cdot 240mm \cdot (120mm)^3= 3.456 \cdot 10^7 mm^4$

Wo wird das Flächenträgheitsmoment eines rechteckigen Querschnitts in echten Projekten angewendet?

• Biegenachweis eines Holzbalkens
• Biegenachweis von Stahlplatten
• Biegenachweis eines Stahlbeton Balken

2. I- und H Querschnitt

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

$h$ = 300mm, $b$ = 150mm, $t_f$ = 10mm, $t_s$ = 7mm

Starke Achse:

$I_y = \frac{b \cdot h^3}{12} – \frac{(b-t_s) \cdot (h-2\cdot t_f)^3}{12} = \frac{150mm \cdot (300mm)^3}{12} – \frac{(150mm-7mm) \cdot (300mm-2\cdot 10mm)^3}{12} = 7.59 \cdot 10^7 mm^4$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{(h-2\cdot t_f) \cdot t_s^3}{12} + \frac{2\cdot t_f \cdot b^3}{12} = \frac{(300mm-2\cdot 10mm) \cdot (7mm)^3}{12} + \frac{2\cdot 10mm \cdot (7mm)^3}{12} = 5.63 \cdot 10^6 mm^4$

Wo wird das Flächenträgheitsmoment eines I- bzw. H- Querschnitts in echten Projekten angewendet?

• Biegenachweis eines IPE Stahlträgers
• Stabilitätsnachweis einer HEB Stahlstütze

3. Kreis Querschnitt

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

D = 100mm

Starke Achse:

$I_y = \frac{D^4 \cdot \pi}{64} = \frac{(100mm)^4 \cdot \pi}{64} = 4.91 \cdot 10^6 mm^4$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{D^4 \cdot \pi}{64} = \frac{(100mm)^4 \cdot \pi}{64} = 4.91 \cdot 10^6 mm^4$

Wo wird das Flächenträgheitsmoment eines Kreis Querschnitts in echten Projekten angewendet?

• Nachweis einer Stahlbeton Stütze
• Wind Zug Verbände von Stahlhallen

4. Kreisrohr Querschnitt

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

D = 100mm, d = 90mm

Starke Achse:

$I_y = \frac{(D^4 – d^4) \cdot \pi}{64} = \frac{((100mm)^4 – (90mm)^4) \cdot \pi}{64} = 1.688 \cdot 10^6 mm^4$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{(D^4 – d^4) \cdot \pi}{64} = \frac{((100mm)^4 – (90mm)^4) \cdot \pi}{64} = 1.688 \cdot 10^6 mm^4$

Wo wird das Flächenträgheitsmoment eines Kreisrohr Querschnitts in echten Projekten angewendet?

• Biege und Stabilitätsnachweise einer Kreisrohrstütze

5. Rechteckiger Hohlquerschnitt

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

B = 120mm, H = 240mm, b = 100mm, h = 220mm

Starke Achse:

$I_y = \frac{B \cdot H^3 – b \cdot h^3}{12} = \frac{120mm \cdot (240mm)^3 – 100mm \cdot (220mm)^3}{12}= 4.95 \cdot 10^7 mm^4$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{B^3 \cdot H – b^3 \cdot h}{12} = \frac{(120mm)^3 \cdot 240mm – (100mm)^3 \cdot 220mm}{12} = 1.62 \cdot 10^7 mm^4$

Wo wird das Flächenträgheitsmoment eines rechteckigen Hohlquerschnitts in echten Projekten angewendet?

• Biege und Stabilitätsnachweise einer Stahlstütze/ -balken

6. U Querschnitt

Abstand zum Schwerpunkt S:

$y_{s} = \frac{1}{(h-2t_f) \cdot t_s + 2 \cdot b \cdot t_f} \cdot ((h-2t_f) \cdot t_s \cdot \frac{t_s}{2} + 2 \cdot b \cdot t_f \cdot \frac{b}{2})$

Trägheitsmoment schwache Achse:

$I_z = \frac{(h-2 \cdot t_f) \cdot t_s^3}{12} + (h-2 \cdot t_f) \cdot t_s \cdot (y_s – \frac{t_s}{2})^2 + \frac{2 \cdot t_f \cdot b^3}{12} + 2 \cdot b \cdot t_f \cdot (\frac{b}{2} – y_s)^2$

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

w = 100mm, h = 80mm, $t_f$ = 5mm, $t_w$ = 5mm

Starke Achse:

$I_y = \frac{b \cdot h^3 – (b – t_s) \cdot (h – 2t_f)^3}{12} = \frac{100mm \cdot (80mm)^3 – (100mm – 5mm) \cdot (80mm – 2\cdot 5mm)^3}{12}= 1.55 \cdot 10^6 mm^4$

Abstand vom Schwerpunkt S:

$y_{s} = \frac{1}{(h-2t_f) \cdot t_s + 2 \cdot b \cdot t_f} \cdot ((h-2t_f) \cdot t_s \cdot \frac{t_s}{2} + 2 \cdot b \cdot t_f \cdot \frac{b}{2})$
$y_{s} = \frac{1}{(80mm-2\cdot 5mm) \cdot 5mm + 2 \cdot 100mm \cdot 5mm} \cdot ((80mm-2 \cdot 5mm) \cdot 5mm \cdot \frac{5mm}{2} + 2 \cdot 100mm \cdot 5mm \cdot \frac{100mm}{2})$
$y_s = 37.69mm$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{(h-2 \cdot t_f) \cdot t_s^3}{12} + (h-2 \cdot t_f) \cdot t_s \cdot (y_s – \frac{t_s}{2})^2 + \frac{2 \cdot t_f \cdot b^3}{12} + 2 \cdot b \cdot t_f \cdot (\frac{b}{2} – y_s)^2$
$I_z = \frac{(80mm-2 \cdot 5mm) \cdot (5mm)^3}{12} + (80mm-2 \cdot 5mm) \cdot 5mm \cdot (37.69mm – \frac{5mm}{2})^2$
$ + \frac{2 \cdot 5mm \cdot (100mm)^3}{12} + 2 \cdot 100mm \cdot 5mm \cdot (\frac{100mm}{2} – 37.69mm)^2$
$I_z = 1.42 \cdot 10^6 mm^4$

Wo wird das Flächenträgheitsmoment eines U Profils in echten Projekten angewendet?

• Biege und Stabilitätsnachweise eines U-Querschnitts, der Teil einer Decke ist.

7. T Querschnitt

Abstand zum Schwerpunkt S:

$z_{s} = \frac{1}{h \cdot t_s + b \cdot t_f} \cdot (h \cdot t_s \cdot \frac{h}{2} + b \cdot t_f \cdot (h + \frac{t_f}{2})$

Trägheitsmoment starke Achse:

$I_y = \frac{h^3 \cdot t_s}{12} + h \cdot t_s \cdot (\frac{h}{2} – z_s)^2 + \frac{t_f \cdot b^3}{12} + b \cdot t_f \cdot (h + \frac{t_f}{2} – z_s)^2$

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

w = 100mm, h = 100mm, $t_f$ = 5mm, $t_w$ = 5mm

Schwache Achse:

$I_z = \frac{t_f \cdot b^3}{12} + \frac{h \cdot t_s^3}{12}$
$I_z = \frac{5mm \cdot (100mm)^3}{12} + \frac{100mm \cdot (5mm)^3}{12}$
$I_z = 4.177 \cdot 10^5 mm^4$

Abstand vom Schwerpunkt S:

$z_{s} = \frac{1}{h \cdot t_s + b \cdot t_f} \cdot (h \cdot t_s \cdot \frac{h}{2} + b \cdot t_f \cdot (h + \frac{t_f}{2})$
$z_{s} = \frac{1}{100mm \cdot 5mm + 100mm \cdot 5mm} \cdot (100mm \cdot 5mm \cdot \frac{100mm}{2} + 100mm \cdot 5mm \cdot (100mm + \frac{5mm}{2})$
$z_s = 76.25mm$

Starke Achse:

$I_y = \frac{h^3 \cdot t_s}{12} + h \cdot t_s \cdot (\frac{h}{2} – z_s)^2 + \frac{t_f \cdot b^3}{12} + b \cdot t_f \cdot (h + \frac{t_f}{2} – z_s)^2 $
$I_y = \frac{(100mm)^3 \cdot 5mm}{12} + 100mm \cdot 5mm \cdot (\frac{100mm}{2} – 76.25mm)^2 + \frac{5mm \cdot (100mm)^3}{12}$
$ + 100mm \cdot 5mm \cdot (100mm + \frac{5mm}{2} – 76.25mm)^2 $
$I_y = 1.107 \cdot 10^6 mm^4$

8. Unsymmetrischer I-Querschnitt

Abstand zum Schwerpunkt S:

$z_s = (\frac{1}{b_u \cdot t_{f.o}+b_u \cdot t_{f.u}+(h-t_{f.o}-t_{f.u}) \cdot t_s}) \cdot (b_o \cdot t_{f.o} \cdot \frac{t_{f.o}}{2}+(h-t_{f.o}-t_{f.u}) \cdot t_s \cdot(t_{f.o}+\frac{(h-t_{f.o}-t_{f.u}}{2})$
$+b_u \cdot t_{f.u} \cdot(h-\frac{t_{f.u}}{2}))$

Trägheitsmoment starke Achse:

$I_y=\frac{b_o \cdot t_{f.o}^3}{12}+ b_o \cdot t_{f.o} \cdot(z_s-\frac{t_{f.o}}{2})^2+\frac{t_s \cdot(h-t_{f.o}-t_{f.u})^3}{12}$
$+t_s \cdot(h-t_{f.o}-t_{f.u}) \cdot(z_s-(t_{f.o}+\frac{(h-t_{f.o}-t_{f.u})}{2}))^2+\frac{b_u \cdot t_{f.u}^3}{12}+ b_u \cdot t_{f.u} \cdot(z_s-h-\frac{t_{f.u}}{2})^2$

Beispiel Berechnung des Trägheitsmoments

$b_u = 200mm$, $b_u = 100mm$, $h = 200mm$, $t_{f.o} = 20mm$, $t_{f.u} = 10mm$, $t_s = 10mm$

Schwache Achse:

$I_z = \frac{20mm \cdot (200mm)^3}{12} + \frac{(200mm-20mm-10mm)\cdot (10mm)^3}{12} +\frac{10mm \cdot (100mm)^3}{12} = 1.418 \cdot 10^7 mm^4$

Abstand vom Schwerpunkt S:

$z_s = (\frac{1}{200mm \cdot 20mm+100mm \cdot 10mm+(200mm-20mm-10mm) \cdot 10mm}) \cdot$
$(200mm \cdot 20mm \cdot \frac{20mm}{2}+(200mm-20mm-10mm) \cdot 10mm \cdot(20mm+\frac{200mm-20mm-10mm}{2})$
$+100mm \cdot 10mm \cdot(200mm-\frac{10mm}{2})) = 61.72mm$

Starke Achse:

$I_y=\frac{200mm \cdot (20mm)^3}{12}+200mm \cdot 20mm \cdot(61.72mm-\frac{20mm}{2})^2+\frac{10mm \cdot(200mm-20mm-10mm)^3}{12}$
$+10mm \cdot(200mm-20mm-10mm) \cdot(61.72mm-(20mm+\frac{(200mm-20mm-10mm)}{2}))^2$
$+\frac{100mm \cdot (10mm)^3}{12}+100mm \cdot 10mm \cdot(61.72mm-200mm-\frac{10mm}{2})^2 = 3.865 \cdot 10^7 mm^4$

Fazit

Das Flächenträgheitsmoment ist ein wichtiger Parameter in der Statik und daher ist es sehr empfehlenswert zu wissen, wie man es für verschiedene Querschnitte berechnet.

In den folgenden Blogposts zeigen wir Schritt-für-Schritt, wie man das Trägheitsmoment berechnet:

• Flächenträgheitsmoment Berechnung eines I-Trägers
• Trägheitsmoment Berechnung {Schritt-für-Schritt}

Falls dich Statik interessiert, dann kännten dir folgende Posts weiterhelfen.

• Statik eines Pfettendachs
• Statische Berechnung eines Punktfundaments